L1- INTRODUCCIÓN NÚMEROS REALES.
NÚMEROS REALES
18.01.2020
CONOCIENDO LOS NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES
REPASO DE CONJUNTOS DEFINICIÓN: Un conjunto es una colección de objetos. Los miembros del conjunto se conocen como elementos. Si A y B son conjuntos y todos los elementos de A están en B entonces decimos que A es subconjunto de B.
NOTACIÓN: Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C, etc. y los elementos se denotan con letras minúsculas a, b, c, etc. Si a es un elemento de A se denota por a ∈ A y si a no es elemento de A escribimos a ∉ A.
Si A es un subconjunto de B, escribimos A ⊆ B y si A no es subconjunto de B escribimos A ⊆ / B.
El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se denota por ∅.
DEFINICIÓN: Sean A y B conjuntos. Si A ⊆ B y A≠B decimos que A es un subconjunto propio de B y escribimos A ⊂ B.
EJEMPLOS: Si A={1,2,3,4,5,6}, B={2,4,6} y C={1,3,5,7} determine si los siguientes enunciados son ciertos o falsos:
a) 1 ∈ B Como 1 no es un elemento de B el enunciado es falso.
b) B ⊆ A Todos los elementos de B son elementos de A, por lo tanto es cierto.
c) B ⊂ A Como B ⊆ A y A≠B, el enunciado es cierto.
d) 2 ∈ A Como 2 es un elemento de A el enunciado es cierto.
e) A ⊂ C Como el elemento 6 pertenece a A pero no a C el enunciado es falso.
EJERCICIOS: Determine si los siguientes enunciados son ciertos o falsos:
- a) 2 ∈ B b) C ⊆ B c) 3 ∈ C d) A ⊂ C
- e) 1 ∈ ∅ f) 3 ∉ B g) C ⊆ / A
DEFINICIÓN: Si A y B son conjuntos, se define la unión de A y B como el conjunto que contiene todos los elementos de A y B. La intersección de A y B es el conjunto que contiene los elementos que son comunes a A y B.
NOTACIÓN: La unión de A y B se denota por A∪B y la intersección por A∩B.
EJEMPLOS: Para los conjuntos A={1,2,4,5,7}, B={2,4,9} y C={4,9} realice las siguientes operaciones:
a) A∪B Los elementos que son de A o de B son 1,2,4,5,7,9, por lo tanto A∪B ={1,2,4,5,7,9}.
b) A∩B El único elemento que es común a A y B es 4, por lo tanto A∩B={2,4}.
2. EJERCICIOS: Con la información del ejemplo anterior halle:
a) A∩C b) B∪C c) A∪∅
LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales, que describiremos más adelante, contiene subconjuntos importantes. A continuación se muestra un resumen de cada uno de éstos:
I. Los números naturales: {1,2,3,...} Este es el conjunto de los números que usamos para contar. Este conjunto se denota con el símbolo N.
II. Los números cardinales: {0,1,2,3,...} El conjunto de estos números de denota con el símbolo N0.
III. Los números enteros: {...,-2,-,0,1,2...}
El conjunto de estos números se denota con el símbolo Z.
IV. Los números racionales: estos números son los números que se pueden expresar como fracciones, son todos los números que se pueden escribir de la forma a b donde a,b∈ Z y b≠0.
EJEMPLOS:
a) -2 b) - 1/5 c) 0 d) 5/11
El conjunto de estos números se denota con el símbolo Q. Este conjunto también se puede describir como el conjunto de todos los números que pueden ser escritos como decimales periódicos, esto es, los decimales que se repiten. Para encontrar la representación de a/ b sólo tenemos que llevar a cabo la división a ÷ b.
V. Los números irracionales es el conjunto de números que no pueden expresarse como un decimal periódico.
EJEMPLOS:
a) - 7 b) π c) 2/ 3
NOTA: No todos los números dentro de radicales son irracionales. Por ejemplo, el número 9 es racional debido a que 9 = 3 (ver sección de radicales).
Denotaremos este conjunto con el símbolo I.
VI. El conjunto de los números reales Este conjunto es la unión de Q con I y se denota por R.
Podemos representar los conjuntos de los números reales con el siguiente diagrama:
También podemos representar los números reales por medio de una recta.
Cada punto en esta recta representa un número real.
A esta recta la llamamos la recta numérica real.
LOS AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES.
- AXIOMAS DE LA SUMA
Si a, b y c son números reales entonces:
1) Clausura: a+b es un número real.
2) Asociativo: (a+b)+c = a+(b+c)
3) Conmutativo: a+b = b+a
4) Existencia de Unidad (identidad aditiva): Existe un único número real llamado cero y denotado por 0 tal que 0+a = a+0 = a.
5) Opuesto: Para cada a existe un único número llamado el opuesto de a y denotado por -a tal que a+(-a) = -a+a = 0.
- AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN
1) Clausura: ab es un número real
2) Asociativo: (ab)c = a(bc)
3) Conmutativo: ab = ba
4) Existencia de Unidad (identidad multiplicativa): Existe un único número real llamado uno y denotado por 1 tal que 1a = a1 = a.
5) Recíproco: Para cada a≠ 0 existe un único número llamado el recíproco de a y denotado por 1/a tal que a⋅ 1/ a = 1/a ⋅ a = 1.
Axioma Distributivo: Si a, b y c son números reales, entonces a(b+c) = ab +ac.
VIDEOTECA:
NUMEROS REALES (RESUMEN)
EJERCICIO:
1. Nombrar los conjuntos que están incluidos en el super conjunto de los números Reales.
2. Dar 3 ejemplos concretos de los números que pertenezcen a los conjuntos incluidos.